GUIなしで同じバイナリを実行する方法について、いくつかの手がかりを見つけました：
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GTKはディスプレイなしでプログラムを実行することをサポートしています：http://library.gnome.org/devel/gtk/2.12/gtk-General.html#gtk-init-check。ただし、wxWidgetsで可能かどうかまでは分かりません。
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wx 2.9のwxAppConsoleが何かの役に立つかもしれないですね。wxAppをwxAppConsoleに単純に置き換えるだけでは動作しないです。どう使うべきか分かりません。ドキュメントもあまり整備されていないです。
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もう一つの選択肢として、IMPLEMENT_APP_NO_MAIN()を使って独自のmainメソッドを作る方法があるかもしれません。
出典：COPA対ライト裁判の証言の一環として、2024年2月にマルッティ・マルミによりGitHubで公開。完全な書簡アーカイブはmmalmi.github.io/satoshi/で閲覧可能。